Cele rozwiązywania problemu:

• pogłębienie wiadomości uczniów z zakresu geometrii,
• kształcenie umiejętności rozwiązywania problemów,
• kształcenie umiejętności budowania strategii, realizacji planu, krytycznego podejścia do rezultatu swoich działań,
• kształcenie umiejętności dyskutowania, argumentowania, uzasadniania swojego zdania.

Czynności konkretne: najpierw uczniowie próbują ułożyć kwadrat z części rozciętego krzyża greckiego.

Czynności wyobrażeniowe: uczniowie prezentują swoje pomysły na tablicy i starają się uzasadnić, że prezentowana „układanka” rzeczywiście jest kwadratem (rysunek po prawej części tablicy).

Czynności abstrakcyjne: omawiamy przekształcenie rzeczywiście prowadzące do ułożenia kwadratu (rysunek na środku tablicy). Musimy pokazać, że „odcięte” fragmenty „pasują” do miejsc, w których chcemy je umieścić, czyli – matematycznie – że dwa trójkąty są przystające.

I tutaj pojawia się problem, jeśli zajęcia realizujemy w grupie zróżnicowanej wiekowo. Podczas relacjonowanych zajęć obecni byli uczniowie w wieku od 7 do 13 lat, więc nie wszyscy z nich znali pojęcie przystawania figur. To pojęcie należało wprowadzić w oparciu o sytuacje codzienne, bliskie uczniowi. I rzeczywiście tak się stało: uczestnicy przyswoili sobie pojęcie figur przystających (zamiennie: identycznych) na przykładzie wykrojów części sukienki, którą szyje krawcowa, ściśle pasujących do przyłożonego do materiału szablonu. Określenie cech przystawania trójkątów było już proste (Co to znaczy, że trójkąty są identyczne? Co to oznacza dla ich boków i dla ich kątów?) Opierając się na sformułowanych cechach przystawania uzasadniliśmy, że dwa wyszczególnione na rysunku trójkąty są identyczne.

Teraz należało uzasadnić, że „układanka” jest kwadratem. Musieliśmy pokazać, że wszystkie boki otrzymanego czworokąta są równe i wszystkie kąty proste. W przypadku uzasadnienia równości boków sytuacja jest prosta: korzystamy z przystawania trójkątów. W przypadku kątów sytuacja jest bardziej skomplikowana. Dla dzieci z młodszych klas pozostaje tutaj intuicja i mierzenie, dla starszych operacje na miarach kątów wyrażonych ogólnie, przy pomocy symboli.

Zajęcia na ten sam temat były też prowadzone z uczniami szkół średnich, członkami Klubu Młodego Odkrywcy „My, matematycy”. Generowanie pomysłów na przekształcenie krzyża greckiego w kwadrat nie poszło tutaj lepiej niż w przypadku dzieci ze szkół podstawowych, ale uzasadnianie, że otrzymaliśmy kwadrat, było już dużo sprawniejsze, ponieważ uczniowie znali pojęcie przystawania figur, twierdzenie Pitagorasa i sprawniej wykonywali operacje na miarach kątów. Co więcej: jedna z uczennic zaproponowała udowodnienie, że obie figury (wyjściowy krzyż grecki i otrzymany kwadrat) mają takie same pola, co oczywiście zrobiliśmy.

Refleksja

Praktycznie żaden uczeń nie wpadł na pomysł, jak przekształcić krzyż grecki w kwadrat – pomimo podpowiedzi udzielonej w pewnym momencie. Rysunek na środku tablicy został sporządzony przez osobę prowadzącą zajęcia (AR) w momencie, gdy już było wiadomo, że nie ma nowych pomysłów ze strony uczestników. Dlaczego uczestnikom zajęć tak trudno było opracować koncepcję przekształcenia? Prawdopodobnie dlatego, że przyzwyczajeni są oni rysować figury geometryczne tak, że pewne boki są równoległe do krawędzi kartki lub tablicy, czyli wtedy „rysunek jest porządny”. Właśnie tak położony na stoliku kwadrat chcieli otrzymać. Tymczasem tutaj otrzymaliśmy kwadrat „nieco obrócony”, czyli należało zerwać ze stereotypem.

Podsumowanie

Uczniowie bardzo lubią wykonywać czynności konkretne. Lubią metodę prób i błędów podczas swoich działań, są bardzo zainteresowani właściwym rozwiązaniem problemu, dlatego też chętnie potem przechodzą do czynności wyobrażeniowych na rysunkach i, co za tym idzie, do dyskusji zawierającej rozumowanie matematyczne, czyli czynności abstrakcyjne. Obserwacje naszej szkolnej rzeczywistości wskazują, że na lekcjach matematyki podczas budowania pojęć matematycznych pomijane są czynności konkretne, a przecież zgodnie z teorią Piageta dziecko w wieku 7-12 lat jest w stadium inteligencji konkretno-operacyjnej, więc wymaganie od niego myślenia abstrakcyjnego z pominięciem czynności konkretnych jest błędem i na pewno nie przyniesie dobrych efektów. Zaś rozważania bardziej abstrakcyjne powinny odbywać się w formie inspirującej uczniów do myślenia rozmowy, nie zaś wykładu, czy podania do zapisania i zapamiętania zestawu definicji czy twierdzeń.

dr Anna Rybak