Scenariusz zajęć KMO My, matematycy zrealizowanych dnia 11 czerwca 2019 roku w Centrum Kreatywnego Uczenia się Matematyki na Uniwersytecie w Białymstoku. W zajęciach uczestniczyli uczniowie szkół średnich (techników) z Białegostoku.

Czy kubek do kawy zawsze różni od obwarzanka?

Autor: Anna Rybak, Centrum Kreatywnego Uczenia się Matematyki, Uniwersytet w Białymstoku

Słowa kluczowe: topologia, własności topologiczne, odkształcenia, niezmienniki

Dziedzina: matematyka

Cel zajęć: Któż z nas nie słyszał określenia „topologia sieci komputerowej”? Z lekcji informatyki wiemy, że jest to po prostu sposób połączenia urządzeń komputerowych. A co oznacza samo słowo „topologia”? Podczas zajęć będziemy badać, czy diametralnie – zdawałoby się – różne przedmioty mają ze sobą coś wspólnego i w ten sposób poznamy podstawy bardzo ważnego działu matematyki, czyli topologii. Następnie zastanowimy się, czy topologia jest widoczna wokół nas.

Materiały: plastelina, przybory do rysowania (wystarczy kartka i długopis)

Etapy zajęć:

• Wprowadzenie (wzbudzenie ciekawości poznawczej): Topologa określa się żartobliwie jako matematyka, który nie potrafi odróżnić kubka do kawy od obwarzanka. Dlaczego? – krótka dyskusja na ten temat, prowadząca raczej do zaciekawienia tematem niż odpowiedzi na pytanie, ponieważ samo określenie topologa było dla uczniów bardzo zaskakujące.

• Wprowadzenie merytoryczne:
  Topologia (gr. τόπος (tópos), miejsce, okolica; λόγος (lógos), słowo, nauka) – dział matematyki zajmujący się badaniem własności, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów (figur geometrycznych, brył i obiektów o większej liczbie wymiarów). Własności takie nazywa się niezmiennikami topologicznymi, przy czym przez deformowanie rozumie się tutaj dowolne odkształcanie (zginanie, rozciąganie, skręcanie), ale bez rozrywania i zlepiania różnych części. Proces deformacji najłatwiej wyobrazić sobie, przyjmując, że obiekt wykonano z gumy.

• Problem 1: Jak można się przekonać, czy obwarzanek jest równoważny kubkowi (w sensie topologicznym)?
  Krótka burza mózgów dotycząca strategii badania i praca z plasteliną. Ten etap pracy obrazują poniższe zdjęcia:

• Dyskusja i sformułowanie wniosku: Tak, można plastelinowy kubek przekształcić w obwarzanek bez rozrywania go na części i zlepiania tych części! Umiemy dokonywać przekształceń topologicznych!

• Problem 2: Takie pojęcia geometryczne jak: długość, pole, równoległość, prostopadłość nie są własnościami topologicznymi. Dlaczego?

  Dyskusja na ten temat wsparta doświadczeniami z plasteliną. Odpowiedź na pytanie nie sprawiła uczniom kłopotu. Szybko odkryli, że np. podczas rozciągania obiektu nie zostają zachowane pierwotne wymiary.

• Problem 3: Natomiast własnością topologiczną jest wymiar. Dlaczego?

  I tutaj pojawiły się problemy – przede wszystkim z rozumieniem pojęcia wymiaru, co było dla mnie zaskoczeniem. Wyjaśniliśmy sobie, posługując się kartkami, długopisami, tablicą, kredą, rysując odpowiednie figury, że punkt jest figurą zerowymiarową (nie ma wymiarów, nie mierzymy go w żaden sposób), prosta, półprosta, odcinek to figury jednowymiarowe (mierzymy jeden wymiar odcinka, czyli długość, w przypadku prostej czy półprostej ta „długość” jest nieskończona), prostokąt jest dwuwymiarowy (mierzymy jego długość i szerokość, czyli charakteryzują go dwie liczby), prostopadłościan jest trójwymiarowy (mierzymy jego długość, szerokość i wysokość, czyli charakteryzują go trzy liczby). Oczywiście przy okazji porozmawialiśmy trochę o 2D i 3D.
  Gdy już wyjaśniliśmy sobie pojęcie wymiaru, powstał problem następujący: czy plastelina może być dla nas w tym ćwiczeniu nadal dobrym narzędziem badawczym, jeżeli punkt nie ma wielkości, prosta ma tylko jeden wymiar, a z plasteliny możemy tworzyć tylko obiekty materialne trójwymiarowe – tak, choć byśmy się bardzo starali, nie utworzymy obiektu całkiem płaskiego, bez grubości. Wniosek z dyskusji był następujący: Tutaj plastelina nie przyda się nam. Musimy posłużyć się wyobraźnią i myśleć abstrakcyjnie. Posługując się właśnie myśleniem abstrakcyjnym uczniowie orzekli, że wymiar jest własnością topologiczną, ponieważ przy pomocy dozwolonych przez topologię przekształceń nie otrzymamy z obiektu o danym wymiarze obiektu o innym wymiarze: prosta zawsze pozostanie jednowymiarowa, a z prostokąta nie „wyrośnie” prostopadłościan.

• Problem 4: Czy koło i trójkąt są sobie równoważne w sensie topologicznym? A okrąg i trójkąt? Dlaczego tak lub dlaczego nie?
  Tutaj już nie było kłopotów. Przydała się nam plastelina, Koło zostało szybko przekształcone w trójkąt, obie figury są dwuwymiarowe, więc są sobie równoważne w sensie topologicznym. W przypadku okręgu i trójkąta odpowiedź brzmiała „nie”. Być może Czytelnicy zastanowią się, dlaczego?

• Na koniec zajęć porozmawialiśmy trochę o zastosowaniach topologii i okazało się, że uczniom nieobce było już przeszłości określenie „topologia” w odniesieniu chociażby do systemu GIS, ale nigdy nie mieli przy tej okazji skojarzeń z matematyką.

• Podsumowanie zajęć (ze strony uczniów): dziwną matematykę dzisiaj odkrywaliśmy, ale była ciekawa!

Uwaga metodyczna:

Podczas zajęć wystąpiło wyraźnie zastosowanie strategii czynnościowego uczenia się matematyki: miały miejsce czynności konkretne (na przedmiotach wykonanych z plasteliny), czynności wyobrażeniowe (na rysunkach, gdy wyjaśnialiśmy sobie kwestie związane z pojęciem wymiaru) i czynności abstrakcyjne (wykonywane wyłącznie w naszych umysłach, gdy wyjaśnialiśmy, dlaczego wymiar jest własnością topologiczną i nie przydały się nam czynności konkretne, ponieważ nie można było użyć plasteliny). Wszystkie trzy rodzaje czynności były niezbędne, aby uczniowie mogli odkryć nową dla siebie wiedzę i sformułować wnioski. Ogólnie: bardzo zachęcam do stosowania strategii czynnościowej. Uczniowie w każdym wieku bardzo lubią wykonywać czynności konkretne. Oczekiwanie od nich wyłącznie czynności abstrakcyjnych często powoduje brak zrozumienia tematu i buduje obraz matematyki jako dziedziny nieprzystępnej dla przeciętnego ucznia.